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Não te consigo ajudar em tudo, mas digo-te  desde já que o motor "afoga" quando a mistura de ar/gasolina está desafinada, tendo mais gasolina que ar, que pode chegar ao ponto de molhar a vela e o motor deixar de pegar. Mas isso é uma questão de afinação que nada tem a ver com a chuva.
Se falas de uma forma literal, de afogar por causa da água.. Acho que só mesmo se a submergires  
Além disso dá para conduzir à chuva sim, se não não havia tanta gente a fazê-lo no dia a dia, eu incluído. É mais chato, de certeza, e tens que andar com mais calma e sem andares a raspar com os joelhos nas curvas, mas dizer que é impossível é um exagero.
Despesas não faço ideia porque nunca tive uma 50cc, mas à partida nunca ficará tão barato quanto os transportes públicos. No entanto vais ter outra liberdade (que eu não troco por nada).

Quanto à roupa impermeável, tenho um kit de calças e casaco de pintor salvo erro, do Leroy Merlin, que foram uns 15€ e desenrasca. Geralmente uso só as calças e em último caso, e o casaco uso só o da mota. Quando está chuva torrencial, ou sei que vou passar horas a conduzir, aí uso o casaco também. Fora a roupa de chuva específica de mota, há quem use também das calças e casacos impermeáveis para neve/caça/etc da decathlon. exemplo: https://www.decathlon.pt/calcas-impermea...25319.html

Posso dizer-te pelo menos que o meu kit baratinho já o uso há uns 2 anos, e até cheguei a estafetar com ele, e geralmente serviu (fora algumas vezes em que a água escorria do depósito e entrava pela costura entre as pernas, mas isso não seria problema numa scooter.
Também tens a opção de usar uma capa de scooter, que te tapa logo completamente as pernas