[Velasquez87]

Achei a tua comparação à gelatina muito interessante. E criou-me aqui uma dúvida existencial:
Qual será o comportamento dum doente com Parkinson aos comandos duma Tracer 900?
Será que agrava os sintomas? Ou será que se anulam?

Física elementar DFelix...

Descrição matemática da ressonância em oscilações forçadas
 

• A frequência das oscilações será dada pela seguinte relação:
  

f = ω 0 2 π = 1 2 π k m {\displaystyle \displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}

• Identidades:
  

ω 0 {\displaystyle {\omega _{0}}}  : frequência natural do sistema em questão; ω {\displaystyle {\omega }}  : frequência da força externa;

• Se definirmos ω 0 2 = k / m {\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m} , então a a equação do oscilador harmônico simples poderá ser escrita do seguinte modo:
  

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}

• Solução homogênea da equação do oscilador harmônico simples:
  

x ( t ) = C 1 sin ⁡ ω 0 t + C 2 cos ⁡ ω 0 t  {\displaystyle x(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}
Descrição matemática
A seguir discutiremos o oscilador harmônico forçado. A equação então é a seguinte:
m d 2 x d t 2 = − k x + F e {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx+F_{e}}
Sabemos que a solução da parte homogênea dessa equação diferencial, ou seja, a solução (usando ω 0 2 = k / m {\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}^{2}=k/m} ) de:
d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}
é:
x H ( t ) = C 1 sin ⁡ ω 0 t + C 2 cos ⁡ ω 0 t  {\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}
Precisamos descobrir qual é a solução particular referente a força externa F e ( t ) {\displaystyle \scriptstyle F_{e}(t)} .
A força externa pode ter diversos tipos de dependências funcionais com diferentes frequências. Tentaremos resolver a equação com uma força especial, uma força oscilante:
F e ( t ) = F 0 cos ⁡ ω t  {\displaystyle F_{e}(t)=F_{0}\cos {\omega t}\,}
Note que ω {\displaystyle \scriptstyle {\omega }} não é necessariamente o mesmo que ω 0 {\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}} . Temos ω {\displaystyle \scriptstyle {\omega }} sob o nosso controle; Então devemos resolver tal equação. Com conhecimento prévio de equações diferenciais percebemos que uma solução particular é do tipo:
x P ( t ) = C 3 cos ⁡ ω t  {\displaystyle x_{P}(t)=C_{3}\cos {\omega t}\,} , onde a constante é para ser determinada.
Então jogamos essa solução x P ( t ) {\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)} na equação do oscilador harmônico forçado com F e ( t ) {\displaystyle \scriptstyle F_{e}(t)} explicito. Colocamos também ω 0 2 m = k {\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}^{2}m=k} e encontraremos:
− m ω 2 C 3 cos ⁡ ω t  = − m ω 0 2 C 3 cos ⁡ ω t  + F 0 cos ⁡ ω t  {\displaystyle -m{\omega }^{2}C_{3}\cos {\omega t}\,=-m{\omega _{0}}^{2}C_{3}\cos {\omega t}\,+F_{0}\cos {\omega t}\,}
Como o cosseno aparece em todos os lugares, podemos dividir a equação toda por ele e mostrar que a solução especial x P ( t ) = C 3 cos ⁡ ω t  {\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)=C_{3}\cos {\omega t}\,} é, de fato, uma solução, se escolhermos o C 3 {\displaystyle \scriptstyle C_{3}} corretamente. A resposta é que C 3 {\displaystyle \scriptstyle C_{3}} deve ser

Ressonância
C 3 = F 0 / m ( ω 0 2 − ω 2 ) {\displaystyle C_{3}=F_{0}/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}
Então a solução particular é:
x P ( t ) = F 0 cos ⁡ ( ω t )  / m ( ω 0 2 − ω 2 ) {\displaystyle x_{P}(t)=F_{0}\cos({\omega t})\,/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}
De fato, a solução geral do oscilador harmônico forçado será a soma da solução particular com a solução da equação homogênea:
x G ( t ) = C 1 sin ⁡ ω 0 t + C 2 cos ⁡ ω 0 t  + F 0 cos ⁡ ( ω t )  / m ( ω 0 2 − ω 2 ) {\displaystyle x_{G}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,+F_{0}\cos({\omega t})\,/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}
Notemos, então, que quando a frequência angular da força externa se aproxima do valor da frequência angular natural do sistema sob oscilação livre, teremos um fator periódico com uma amplitude que tende ao infinito. Sabemos que não existe nenhum sistema que chegaria a esse ponto, pois além dele se partir antes, existem outros termos de atrito e outras forças que não consideramos por fins práticos mas que acontecem no tempo real. [1] Ao somarmos a solução particular com a solução do caso homogêneo, percebemos que existe a concordância com o Princípio da Superposição das Ondas. Podemos interpretar essa situação, em que o sistema não pode atingir uma amplitude infinita, pela perspectiva do Princípio da Superposição das Ondas: só pode existir a sobreposição de ondas até o momento que o sistema em questão permitir, ou seja, o quanto a estrutura do material suporta, por exemplo.[2] De fato estamos interessados no resultado qualitativo de tal equação. Chegamos num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.
Descrição matemática 2
Podemos, também, interpretar o caso de ressonância a partir de uma força externa periódica que já tenha a mesma frequência angular natural do sistema o que é diferente do primeiro caso, no qual consideramos que a força externa não possuía a mesma frequência angular natural do sistema, mas que a fazíamos assumir o valor ao analisarmos a solução geral. Então, a partir dessa perspectiva, podemos considerar a força externa como:
F e ( t ) = F 0 cos ⁡ ω 0 t  {\displaystyle F_{e}(t)=F_{0}\cos {\omega _{0}t}\,}
Assim, percebemos que existe uma similaridade dessa solução, com a solução que já conhecemos da parte homogênea que é:
x H ( t ) = C 1 sin ⁡ ω 0 t + C 2 cos ⁡ ω 0 t  {\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}
Com o conhecimento de equações diferenciais é fácil perceber que a solução particular referente a força externa precisa ser da seguinte forma para produzirmos soluções linearmente independentes:
x P ( t ) = C 3 t cos ⁡ ω 0 t  {\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)=C_{3}t\cos {\omega _{0}t}\,} , onde a constante é para ser determinada. Substituindo a equação da solução particular na equação do sistema, encontramos a seguinte constante referente a força externa:
C 3 = F 0 t / 2 m ω 0 {\displaystyle C_{3}=F_{0}t/2m{\omega _{0}}}
Então, a solução geral é da forma[3]:
x H ( t ) = C 1 sin ⁡ ω 0 t + C 2 cos ⁡ ω 0 t  + F 0 t sin ⁡ ( ω 0 t  ) / 2 m ω 0 {\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,+F_{0}t\sin({\omega _{0}t}\,)/2m{\omega _{0}}}
E, novamente, percebemos que a força externa passa a governar o sistema se se considerar tempos sucessivos, na qual a amplitude do termo periódico na solução geral, referente a força externa, só tende a aumentar com o decorrer do tempo. Chegamos, mais uma vez, num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.

Areias?

És tu!?

Não...

Toda a gente sabe que o Areias é um camelo...